Dados lo siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la solución. NO ES NECESARIO REPRESENTAR CONJUNTOS QUE NO PERTENEZCAN AL PROBLEMA.
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A È B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:
A È B = { x/x Î A ó x Î B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A È B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ç B, algebraicamente se escribe así:
AÇB = { x/x Î A y x Î B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q Ç P={ a, b, o, r, s, y }
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprehensión como:
A'={ x Î U/x y x Ï A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A Ì U
El complemento de A estará dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B={ x/x Î A ; X Ï B }
Ejemplo:
Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es
B – A = { g, h, i }
E indica los elementos que están en B y no en A.
TALLER Nº 7
TEMA:OPERACIONES DE
CONJUNTOS
Este taller se realizará en clase.
Dados lo
siguientes conjuntos, represente mediante un Diagrama de Venn – Euler la
solución a cada operación de conjuntos e indique qué elementos forman la
solución. NO ES NECESARIO REPRESENTAR CONJUNTOS QUE NO PERTENEZCAN AL
PROBLEMA.
Evaluación escrita de todo lo estudiado hasta la fecha.
CONJUNTOS.
DEFINICION
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.
La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.
Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos. Por ejemplo el conjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. que se puede escribir así:
{ a, b, c, ..., x, y, z}
Como se muestra el conjunto se escribe entre llaves ({}) , o separados por comas (,).
El detallar a todos los elementos de un conjunto entre las llaves, se denomina forma tabular, extensión o enumeración de los elementos.
Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } también puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
En teoría de conjuntos se acostumbra no repetir a los elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente será { b, d }.
MEMBRESIA
Los conjuntos se denotan por letras mayúsculas : A, B, C,... por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoño, invierno }
El símbolo Î indicará que un elemento pertenece o es miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar que un elemento no pertenece al conjunto de referencia, bastará cancelarlo con una raya inclinada / quedando el símbolo como Ï .
Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u }, a Î B y c Ï B
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë .
Note que Îse utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:
U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde
N={ 1, 2, 3, .... }
Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde
Z={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones }). Estos números se representan por una Q
Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.
Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.
Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprehensión.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los números naturales menores que 60. Aquí U es el conjunto N y se tiene una propiedad que caracteriza a los elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para indicar esta situación empleamos la simbología del álgebra de conjuntos:
{ x/x Î N ; x<60 }
En esta expresión se maneja un conjunto de x que pertenece a los números naturales (N) y además que los valores de x son menores que 60.
Ahora si se desea trabajar con conjuntos que manejen intervalos estos pueden ser representados por medio de una expresión algebraica; supongamos que se desea expresar los números enteros (Z) entre -20 y 30 el conjunto quedaría de la manera siguiente:
{ x/x Î Z ; -20 £ x £ 30 }
También se puede expresar el valor de un conjunto indicando la pertenencia o no pertenencia a uno diferente, por ejemplo
L={ 1, 3, 4, 6, 9 }
P={ x/x Î N ; X Ï L }
En el conjunto P se indica que los elementos x de un conjunto pertenecen a los números naturales y además x no pertenece al conjunto L.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Si definimos un conjunto por extensión, debemos enumerar cada uno de sus elementos. En el caso de las vocales, se deben nombrar todas ellas: a, e, i, o, u, como lo hemos hecho anteriormente. Si lo definimos por comprensión nombramos solamente la propiedad o característica que los aglutina. En el mismo caso diríamos A= {las vocales} o A= {X/X es una vocal} que corresponde leer: A es el conjunto de X, tales que X es una vocal.
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.
La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.
Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como:
Los conjuntos se representan por medio de dibujos dentro del rectángulo, los aspectos de interés se resaltan sombreando las áreas respectivas. En el caso de este curso las indicaremos por medio de un color azul por ejemplo:
ESTA SEMANA REALIZAMOS LAS ACTIVIDADES 4, 5 Y 6. LA NÚMERO CINCO EN CLASE Y LA NÚMERO SEIS EN CASA PARA ENTREGAR A LA SEMANA SIGUIENTE.
LA CONJUNCIÓN
La conjunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, y falso en cualquier otro caso. Es decir es verdadera cuando ambas son verdaderas.
Tabla de verdad de la conjunción
LA DISYUNCIÓN
La disyunción es un operador que opera sobre dos valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando ambas son falsas.
Tabla de verdad de la disyunción
Actividad Nº 4 (Lunes 2 de febrero).
1. Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas:
a. Todos los números son pares( )
b. Todos los estudiantes de esta clase de sexto saben leer . ( )
c. Todos los cuadrados son figuras de cuatro lados( )
d. Algunos estudiantes del grado sexto no llevan uniforme ( )
e. Algunos días de esta semana son días festivos ( )
f. Algunos estudiantes de sexto de la Mutis hablan dos idiomas ( )
g. Ningún alumno del grado sexto de la mutis sabe francés ( )
h. Ningún cuadrado tiene tres lados ( )
2. Escriba el valor de verdad ( F ó V) a cada uno de los siguientes pares de proposiciones:
a. 7 es un número par y 7 no es impar.
b. 8 es divisible por 3 y 8 no es divisible por 3
c. La plata es un metal y la plata no es un metal.
3. Halle el valor de verdad a las siguientes proposiciones; formar la conjunción y hallar el valor de verdad de la conjunción:
a. 15 s múltiplo de 3------------7 es menor que 5
b. 24 es nº primo-----------------Todos los números pares se pueden dividir por 2
c. 6 es la mitad de 12------------El triple de 8 es 24.
4.En los siguientes pares de proposiciones se pide hallar el valor de verdad de la disyunción:
a. 24 es múltiplo de 6-----------12 es mayor que 15
b. 17 es número par---------18 es divisible por 6
c. Todos los Colombianos son católicos-----Algunos Colombianos son católicos
d. 6 es la tercera parte de 18--------24 es el doble de 48.
ACTIVIDAD Nº 5 REALIZADA EL JUEVES 5 DE FEBRERO EN CLASE. ACTIVIDAD NÚMERO CUATRO PARA SEXTO A Y NÚMERO CINCO PARA SEXTO B.
1. Escriba seis proposiciones simples, colóqueles nombre y determine el valor de verdad a cada una.
2. Niegue cada proposición del punto anterior y elabore tabla de valor de verdad.
3. Construya cinco disyunciones, determine y haga la tabla de valor de verdad a cada una.
4. Empleando los cuantificadores existencial y universal ( todos, no todos, alguno, nadie), construya cinco disyunciones y elabore a cada una, la tabla de valor de verdad.
TAREA PARA HACER EN CASA Y TRAER LA PRÓXIMA SEMANA, DONDE SE HARÁ EVALUACIÓN ESCRITA DE TODO LO ESTUDIADO HASTA LA FECHA.
ACTIVIDAD Nº6
1. Con las siguientes proposiciones forme conjunciones, encuentre el valor de verdad a cada una y elabore la tabla a cada disyunción.
a. p: El rector de la Mutis es Fernando Salamanca.
q: El coordinador es don Carlos Upegui.
b. s: El presidente de Colombia es Juan Manuel Santos.
t: El gobernador de Antioquia es Sergio Fajardo Valderrama
c. m: El alcalde de Medellín es Anibal Gaviria.
n: El alcalde de Medellín es Sergio Fajardo.
d. w: La moneda oficial de Colombia es el Bolívar
v: La moneda oficial de Venezuela es el peso.
e. x: Bogotá es la ciudad de la "eterna primavera".
z: Medellín es llamada la" puerta de oro" de Colombia.
2. Forme disyunciones con las siguientes proposiciones simples. Encuentre su valor de verdad, elabore la tabla a cada disyunción.
a. r: La independencia de Colombia fué el 20 de julio de 1810.( )
s: El río Magdalena nace en Colombia( )
b. t: Un metro son 100 centímetros.( )
u: Un metro son 90 centímetros.( )
c. w: Un kilómetro tiene 100 metros( )
v: Un kilómetro son 1000 metros ( )
d. x: Emilse es mi profesora de sociales( )
y:Lucero es mi profesora de español( )
e. m: Hoy vine a clase ( )
n: El sábado no tuvimos clase( )
